دستور پاسخ پله در متلب

دستور پاسخ پله در متلب
دستور پاسخ پله در متلب

تعیین پاسخ پله با
دستور step در متلب

در نرم افزار متلب (Matlab)، با دستور step(F)،
پاسخ به ورودی پله یک سیستم تغییر ناپذیر با زمان یا LTI
به دست می آید.

num=[1 1];

دستور پاسخ پله در متلب

den=[2 3 6];

F=tf(num,den);

step(F)


برای رسم پاسخ پله واحد از دستور step استفاده میکنیم.شکل کلی دستور به صورت زیر میباشد:

(step(num,den

که num چند جمله موجود در صورت تابع تبدیل وden ماتریس چند جمله ای در مخرج تابع تبدیل میباشد.

به عنوان مثال داریم:

دستور پاسخ پله در متلب

G(s)=1/s^2+0.2s+1

پس ماتریس num , den به صورت مقابل در می اید:

[num=[0 0 1

[den=[1 0.2 1

حالا دستورات زیر رو در یک ام.فایل ذخیره کرده اجرا کنید:

[num = [0 0 1

[den = [1 0.2 1

(step(num,den

grid

(‘(title(‘Unit-Step Response of G(s)=25/(sˆ2+4s+25

(‘xlabel(‘t Sec

(‘ylabel(‘Output

دستور پاسخ پله به صورت های مختلف نیز وجود دارد :

(step(A,B,C,D

که در ان A ماتریس حالت , B ماتریس کنترل ,C ماتریس خروجی و D ماتریس انتقال میباشند

ونیز به صورت :

(y,x,t]=step(num,den,t]

(y,x,t]=step(A,B,C,D,t]

که در انها t معرف بردار زمان میباشد.در دستور step اگر بردار زمان داده نشده باشد,بردار زمان به صورت خودکار تعیین میشود.در صورت استفاده از بردار t دستور داده شده نموداری روی صفحه تولید نمیکند.در این موارد برای رسم نمودار و دیدن منحنی پاسخ باید از دستور plot استفاده کرد.

;t=0:0.01:60

(y,x,t]=step(num,den,t]

(plot(t,y

که با اجرای دستور همان شکل فوق حاصل میشود.

2.پاسخ ضربه:

با اجرای دستورات زیر میتوان پاسخ ضربه یک سیستم را با MATLAB به دست اورد.

(impulse(num,den

(impulse(A,B,C,D

(y,x,t]=impulse(num,den,t]

(y,x,t]=impulse(A,B,C,D,t]

تابع تبدیل مثال قبل را به ازای ورودی ضربه بررسی میکنیم:

دستور پاسخ پله در متلب

;[num = [0 0 1

;[den = [1 0.2 1

;t=0:0.01:60

(y,x,t]=impulse(num,den,t]

(plot(t,y

grid on

(‘(title(‘Impulse Response of G(s)=25/(sˆ2+4s+25

(‘xlabel(‘t Sec

(‘ylabel(‘Output

3.پاسخ شیب:

در MATLAB دستور ramp برای یافتن پاسخ شیب وجود ندارد . بنابر این باید برای یافتن پاسخ شیب از دستور step استفاده کنیم. اما با اندکی تغییر ,کافیست (G(s را بر یک s تقسیم کنیم و دستور step را به کار بگیریم.

تابع تبدیل مثال فوق را در نظر بگیرید:

C(s)/R(s)=G(s)=1/s^2+0.2s+1

که (R(s ورودی و (C(s خروجی سیستم میباشند.ورودی شیب به صورت y(t)=t پس با لاپلاس گیری از (y(t , ورودی را به فضای لاپلاس برده داریم:

R(s)=1/s^2

پس:

(C(s)=(1/s^2+0.2s+1)*(1/s^2

(C(s)=(1/s(s^2+0.2s+1))*(1/s

برای یافتن پاسخ شیب این سیستم,صورت و مخرج زیر را به MATLAB داده دستور پاسخ پله را به کار میبریم.

;num = 1

;[den = [1 0.2 1 0

;t=0:0.01:3

;[y,x,t]=step(num,den,t]

(‘-‘,plot(t,y,’or’,t,t

grid on

(‘(title(‘Unit-Ramp Response of G(s)=25/(sˆ2+4s+25

(‘xlabel(‘t Sec

(‘ylabel(‘Output

نظر یادتون نره…!

Mohandesaan.blogfa.com

جاوا اسكریپت

جاوا اسكریپت

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

دستور پاسخ پله در متلب

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

دستور پاسخ پله در متلب

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

مهمان عزیز شما حق دیدن لینک ها را ندارید

عضویت

مهمان عزیز شما حق دیدن لینک ها را ندارید

عضویت

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

اگر فرم ورود برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.

 خطا! ورودی را کنترل کنید

  خطا! ورودی را کنترل کنید

ورود خودکار ؟

اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

دستور پاسخ پله در متلب

اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمی‌شود، اینجا را کلیک کنید.

انـجـمـن های تـخــصـصی ECA

برترین مرجع تخصصی برق و الکترونیک در ایران

نمایش برچسب‌ها

مشاهده قوانین انجمن

انجمن های تخصصی برق و الکترونیک ECA از سال 1382 فعالیت علمی خود را آغاز نموده و با هدف ایجاد پایگاه بزرگ اطلاعاتی، همواره در مسیر پیشرفت کشور عزیزمان قدم برداشته است.

نیرو گرفته از پوسته فلت‌لی

.کاربر‌گرامی، مرورگری که شما از آن استفاده می‌کنید اصلاً مناسب نیست.
بهتر است برای وبگردی راحت تر از آخرین نگارش مرورگر های گوگل‌کروم یا موزیلا فایرفاکس استفاده کنید.

سفارش پروژه

خرید پستی درب منزل

این کتاب شامل تمامی دستورات عمومی متلب می باشد

———– توضیحات: نمایش پاسخ پله سیستم h. برای دیدن عکس روی آن کلیک کنید   ************************* کانال قطعات موبایل اسنپ زیر نظر…

متلب تولز: بزرگترین سایت متلب.

تعیین پاسخ ضربه با
دستور impulse در متلب

در نرم افزار متلب (Matlab)، با دستور impulse(F)،
پاسخ به ورودی ضربه یک سیستم تغییر ناپذیر با زمان یا LTI
به دست می آید.

 

num=[1 1];

دستور پاسخ پله در متلب

den=[2 3 6];

F=tf(num,den);

impulse(F)

در بحث پردازش سيگنال ها و سيستم ها و نيز سيستم هاي کنترلي از توابع پرکاربرد پله و ضربه جهت شناسايي رفتار سيستم ها استفاده ميشود. در اين شماره شما را با نحوه تعريف اين توابع در MATLAB آشنا مي کنيم.

تابع پله هويسايد (Heaviside Step Function)

دستور پاسخ پله در متلب

این تابع چند ضابطه‌ای به این صورت تعریف می‌شود که در مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر برابر یک و در مقادیر منفی، برابر صفر است. شکل ۱ تصویر تابع پله را نشان می‌دهد.

 

شکل ۱: تابع پله هویساید استاندارد

 

نحوه تعریف ریاضی این تابع چندضابطه ای در معادله (1) نشان داده شده است.

لازم به ذکر است در تابع پله استاندارد دو پارامتر گام و مقدار نهایی نقش اساسی دارند. گام به معنی مکانی است که نمودار از مقدار صفر به یک تغییر می‌کند که در تابع پله استاندارد گام صفر است و در مقدار صفر دامنه سیگنال از صفر به یک تبدیل می‌شود. منظور از مقدار نهایی نیز تغییر دامنه سیگنال از صفر به مقدار دلخواه است. بنابراین شما می‌توانید در جهت مثبت یا منفی نمودار را جابجا کنید و همچنین دامنه سیگنال را در مقدار مثبت یا منفی ضرب نمایید.

معادله‌های (۲) و (۳) نحوه انتقال تابع پله به راست و چپ را برای مقادیر مثبت a نشان می‌دهد. معادله (۲) تابع پله را به ازای مقدار پارامتر a به سمت راست و معادله (۳) نیز تابع پله را به سمت چپ منتقل می‌کند.

جهت رسم تابع استاندارد در نرم افزار MATLAB به صورت برنامه نوشته شده در شکل ۲ عمل کنید. ابتدا محور افقی  نمودار را در یک بازه دلخواه به طور مثال از ۱۰- تا ۱۰ با نمونه‌برداری  ۰۱/۰ تعریف کنید. سپس با توجه به اینکه در تابع پله استاندارد گام در مقدار صفر است، مقدار گام را صفر (x0=0) در نظر می‌گیریم. سپس جهت تولید خروجی از تابع stepfun استفاده می‌کنیم. در نهایت برای نمایش تابع پله از دستور plot استفاده می‌شود.

شکل ۲: تابع پله استاندارد

در صورتیکه بخواهیم تابع پله ۳ واحد به سمت راست شیفت پیدا کند کافی است مقدار گام را بر روی ۳تنظیم کنیم و همان مراحل قبل را تکرار کنیم. شکل۳، تابع پله‌ای را نشان می‌دهد که ۳ واحد به سمت راست شیفت پیدا کرده است.

شکل ۳: تابع پله با سه واحد شیفت
به سمت راست

برای منفی کردن تابع پله کافی است، دستور stepfun را در یک عدد منفی ضرب نماییم. جهت ایجاد تصویری به شکل ۴ به کمک توابع پله می‌توانیم به صورت زیر عمل کنیم. همانطور که در این شکل مشخص است این تابع بر روی محور افقی در مقدار منفی یک به اندازه یک واحد مثبت افزایش یافته است یعنی از مقدار دامنه صفر به ۱+ رسیده است و سپس در مقدار مثبت یک در محور افقی، یک واحد کاهش یافته است و از مقدار دامنه ۱+ به صفر رسیده است. بنابراین در محیط متلب دو گام تعریف خواهیم کرد که گام اول در مکان ۱- به اندازه یک واحد مثبت افزایش نشان می‌دهد و گام دوم در مکان ۱+ ایجاد شده است که یک واحد کاهش یافته است. در نهایت می‌بایست دو تابع پله ایجاد شده را با هم جمع کرد تا تصویر مورد نظر ایجاد شود. شکل ۵، برنامه نوشته شده جهت تولید این چهارگوش را نشان می‌دهد.

 

شکل ۴: تصویر تابع چهارگوش

 

 

شکل ۵: نحوه تعریف تصویر چهارگوش در متلب

معمولا نرم‌افزار MATLAB محورهای مختصات را به صورت پیش‌فرض نشان می‌دهد. جهت نمایش بهتر دامنه توابع می‌توانید از دستور axis equal استفاده کنید تا حد نهایی تابع بهتر نمایش داده شود. همچنین می‌توانید از دستور  linewidth در تابع plot جهت ضخیم‌تر شدن خطوط نمودار استفاده کنید. شکل ۶، نمودار تابع چهارگوش با اصلاح دامنه و تغییر در ضخامت خطوط را نشان می‌دهد.

 

شکل ۶: نمودار چهارگوش با دامنه اصلاح شده و تغییر در ضخامت خطوط

توليد تابع پله با دستور Heaviside

یکی دیگر از روش‌های تولید تابع پله استفاده از دستور heaviside است. جهت انجام این کار می‌توانید محور افقی را با دستور syms به صورت نماد تعریف کنیم و سپس از دستور heaviside استفاده نماییم. برنامه نوشته شده در شکل ۷ (تصویر بالا) تابع پله‌ای را نشان می‌دهد که یک واحد به سمت چپ شیفت داده شده است. شکل ۷ (تصویر پایین) شیفت یافته تابع پله به اندازه یک واحد به سمت راست را نشان می‌دهد.

شکل ۷: رسم تابع پله شیفت یافته به کمک دستور Heaviside

تابع ضربه دلتاي ديراک  (Dirac delta)

تابع ضربه در مقدار صفر دارای دامنه نامحدود بوده و در سایر مقادیر مثبت و منفی، صفر است. شکل ۸ تعریف ریاضی و تصویر تابع ضربه را نشان می‌دهد. این تابع فقط در لحظه صفر مقدار داشته و در سایر زمان‌ها صفر است.

دستور پاسخ پله در متلب

شکل ۸: تصویر و تعریف ریاضی تابع ضربه

جهت نمایش تابع ضربه در نرم افزار MATLAB می‌توانید از برنامه نوشته شده در شکل ۹ استفاده کنید. در این برنامه ابتدا یک بازه دلخواه برای محور افقی تعریف شده و سپس از دستور dirac برای تعریف خروجی یا دامنه تابع ضربه استفاده می‌شود. خروجی تابع dirac صفر و بی‌نهایت است که مقدار بی‌نهایت در لحظه صفر ایجاد می‌شود و در مابقی زمان‌ها صفر خواهد بود. دستور مقایسه‌ای فقط در لحظه صفر برقرار خواهد بود و مقدار یک را نتیجه می‌دهد زیرا مقدار dirac(0) بی‌نهایت است و عملگر مقایسه‌ای صادق است و در سایر زمان‌ها صفر است و عملگر مقایسه‌ای صادق نیست. در انتها با استفاده از دستور stem تصویر تابع ضربه ایجاد می‌شود. همچنین برای شیفت تابع ضربه کافی است ورودی تابع dirac را تغییر بدهید. شکل ۱۰ تابع ضربه‌ای را نشان می‌دهد که یک واحد به راست شیفت پیدا کرده است.

شکل ۹: نحوه تعریف تابع ضربه در MATLAB

شکل ۱۰: تابع ضربه با یک واحد شیفت به سمت راست

 

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

ذخیره نام، ایمیل و وبسایت من در مرورگر برای زمانی که دوباره دیدگاهی می‌نویسم.

ماهنامه مهندسي پزشكي و تجهیزات آزمایشگاهی نخستین و فراگیرترین نشریه مستقل در زمینه تجهیزات پزشکی، آزمایشگاهی، دندان‌پزشکی و خدمات سلامت کشور است که به مراکز بیمارستانی، دانشگاهی و شرکت‌های تجهیزات پزشکی سراسر کشور ارسال می‌شود.

خوش آمدید

یکی از مهم‌ترین ورودی‌های تست سیستم، تابع پله واحد (Unit Step Function) است. پاسخ یک سیستم با شرایط اولیه صفر یا به عبارت دیگر، پاسخ حالت صفر (Zero State Response) یک سیستم به ورودی پله واحد را پاسخ پله واحد می‌گویند. البته اگر سیستم مورد بررسی دارای شرایط اولیه غیر صفر باشد، نیاز است که برای به دست آوردن پاسخ کامل، پاسخ ورودی صفر را نیز محاسبه کرد. در این مطلب می‌خواهیم به بررسی پاسخ پله (Unit Step Response) برای سیستم درجه یک، سیستم درجه دو و سیستم‌های درجه بالاتر بپردازیم.

در تصویر زیر می‌توان تصویر تابع پله واحد را مشاهده کرد.

می‌توان ورودی پله یک سیستم را به سادگی با استفاده از تابع انتقال (Transfer Function) آن به دست آورد. اگر در یک سیستم ورودی برابر با $$ x(t) $$، خروجی برابر با $$ y(t) $$ و تابع انتقال $$ H(S) $$ باشد، آن‌گاه می‌توان نوشت:

$$ H(S) = frac {Y(S)} {X(S)} $$

در این سیستم، خروجی با شرایط اولیه صفر یا به عبارت دیگر خروجی حالت صفر، به سادگی با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

دستور پاسخ پله در متلب

$$ Y(S) = X(S) H(S) $$

بنابراین، پاسخ پله واحد $$ Y _ gamma (S) $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ Y _ gamma (S) = frac {1} {S} H(S) $$

حال با اعمال قضیه مقدار اولیه و مقدار نهایی، می‌توانیم دو مشخصه بسیار مهم از پاسخ پله واحد، یعنی مقادیر اولیه و نهایی آن را تعیین کنیم. بر همین اساس، مقدار اولیه تابع برابر است با:

$$ lim_{t rightarrow 0 ^+} f(t) = lim_{S rightarrow infty} S F(S) $$

مقدار نهایی نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ lim_{t rightarrow infty} f(t) = lim_{S rightarrow 0} S F(S) $$

بنابراین داریم:

$$ lim_{t rightarrow 0 ^+} Y _ gamma (t) = lim_{S rightarrow infty} S Y _ gamma (S) = lim_{S rightarrow infty} S frac {1} {S} H(S) = lim_{S rightarrow infty} H(S) $$

$$ lim_{t rightarrow infty} Y _ gamma (t) = lim_{S rightarrow 0} S Y _ gamma (S) = lim_{S rightarrow 0} S frac {1} {S} H(S) = lim_{S rightarrow 0} H(S) $$

معمولا این معادله‌ها را ساده می‌کنیم و می‌نویسیم:

$$ Y _ gamma (0^+) = H ( infty ) $$

$$ Y _ gamma (infty) = H ( 0 ) $$

ابتدا یک سیستم عمومی را در نظر می‌گیریم و پاسخ پله را برای آن محاسبه می‌کنیم. در ادامه مثال‌های بیشتری را از سیستم‌های درجه یک حل می‌کنیم. یک تابع انتقال مرتبه اول عمومی را در نظر بگیرید که توسط رابطه زیر توصیف می‌شود:

$$ H(S) = frac {b.S + c} {S+ a} $$

در این سیستم، $$ a $$ و $$ b $$ و $$ c $$  اعداد حقیقی هستند و یکی از مقادیر $$ b $$ یا $$ c $$ ممکن است برابر با صفر باشند، اما هر دو با هم صفر نمی‌شوند. برای به دست آوردن پاسخ پله واحد، $$ H(S) $$ را در $$ frac {1} {S} $$ ضرب می‌کنیم:

$$ Y_ gamma (S) = frac {1} {S} H(S) = frac {1} {S} frac {b.S + c} {S+ a} $$

با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس و بسط کسرهای جزئی می‌توان نوشت:

$$ Y_ gamma (S) = frac {1} {S} H(S) = frac {1} {S} frac {b.S + c} {S+ a} \
Y_ gamma (S) = frac{A} {S } + frac{B} {S+ a} \
= frac{c} {a }frac{1} {S } + frac{ba – c} { a} frac{1} {S+ a}\
= frac{c} {a }frac{1} {S } + (b – frac{ c} { a}) frac{1} {S+ a} $$

بنابراین:

$$ Y_ gamma ( t) = frac{ c} { a} + (b – frac{ c} { a}) e^ {-at}; ,;;;t>0 $$

حال می‌توان مشخصه‌های بسیاری را از این معادله به دست آورد:

$$ Y_ gamma (0^ +) = H(infty ) = b $$

$$ Y_ gamma ( infty ) = H( 0 ) = frac{ c} { a} $$

$$ tau = frac{1} { a} $$

بنابراین می‌توان فرم عمومی پاسخ پله واحد سیستم را به صورت زیر نوشت:

$$large Y_ gamma (t) = Y_ gamma (infty) + (Y_ gamma (0 ^ +) – Y_ gamma (infty)) e^ {- frac {t} {tau}} $$

$$ large = H (0 ) + ( H ( infty) – H( 0) ) e ^ {frac {- t} {tau} } $$

معادلات فوق از اهمیت بالایی برخوردارند. بر اساس این معادلات می‌توان نتیجه گرفت که اگر بتوان مقادیر اولیه یک سیستم مرتبه اول را در $$ t = 0 ^ + $$ تعیین کرد، آن‌گاه می‌توان مقدار نهایی و نیز ثابت زمانی سیستم را به دست آورد و برای این کار به حل هیچ معادله‌ای نیاز نداریم. به طریق مشابه، اگر بتوانیم مقادیر اولیه سیستم را از راه تجربی به دست آوریم و سپس مقدار نهایی و ثابت زمانی را تعیین کنیم، آن‌گاه می‌توانیم تابع انتقال کلی سیستم را محاسبه کرد.

محاسبه ثابت زمانی سیستم مرتبه اول معمولا ساده است. ثابت زمانی برخی از سیستم‌های متداول در جدول زیر آورده شده‌اند.

اگر نیروی ورودی سیستم زیر برابر با پله واحد باشد، آن‌گاه $$ v(t) $$ را محاسبه کنید.

دیاگرام نیروها در این سیستم به صورت زیر نشان داده شده است.

حل اول

معادله دیفرانسیل توصیف کننده سیستم برابر است با:

$$ m dot{v} + b v = f(t) $$

دستور پاسخ پله در متلب

بنابراین تابع انتقال را با اعمال تبدیل لاپلاس (با شرایط اولیه صفر) و حل کردن $$ V(S) / F(S) $$ به دست می‌آوریم:

$$ m S V(S) + b V (S) = F(S) $$

$$ frac {V(S)} {F(S)} = H(S) = frac {1} {ms + b} = frac {1/m} {s + b/m} $$

برای به دست آوردن پاسخ پله واحد، تابع انتقال را در تبدیل لاپلاس پله واحد یعنی $$  frac {1} {S} $$ ضرب می‌کنیم و سپس معادله را با نگاه کردن به جدول تبدیل لاپلاس و یافتن معکوس حل می‌کنیم:

$$ V(S) = F(S) H(S) = frac {1} {S} frac {1/m} {s + b/m} $$

$$ v(t) = frac {1} {b} (1 – e^ { – (frac {b } {m}) t }) $$

با فرض کردن $$ m=b=1 $$، جواب به صورت زیر به دست می‌آید.

حل دوم (بدون نیاز به لاپلاس معکوس)

با استفاده از تابع انتقال می‌توان اطلاعات زیر را به دست آورد:

$$ V (0^ +) = H(infty ) = 0 $$

$$ V ( infty ) = H( 0 ) = frac{ 1} { b} $$

$$ tau = frac{m} { b} $$

حال با استفاده از فرم عمومی پاسخ پله واحد سیستم‌های مرتبه اول، به رابطه زیر دست می‌یابیم:

$$ v (t) = v (infty) + (v (0 ^ +) – v (infty)) e^ {- frac {t} {tau}} $$

$$ = H (0 ) + ( H ( infty) – H( 0) ) e ^ {frac {- t} {tau} } $$

$$ = frac {1} {b} + (0 – frac {1} {b}) e^ {- frac {b} {m} t} $$

$$ = frac {1} {b} (1 – e^ {- frac {b} {m} t} ) $$

همچنین می‌توان از روش زیر استفاده کرد.

سیستم از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند و سرعت جرم در سیستم فوق نمی‌تواند با یک ورودی محدود، به صورت آنی تغییر کند، بنابراین $$ v (0 ^ + ) = 0 $$. سرعت نهایی از جرم مستقل است؛ زیرا هیچ نیروی شتابی در سرعت ثابت وجود ندارد. بنابراین داریم:

$$ f(infty)=bv(infty);; or ;;v(infty)=frac {f(infty)}{b}=frac {1} {b} $$

ثابت زمانی یک سیستم جرم و دمپر برابر با $$frac {m} {b} $$ است. بنابراین:

$$ v(t) = frac {1} {b} (1 – e^ {- frac {b} {m} t} ) $$

اگر نیروی ورودی سیستم زیر، یک پله با دامنه $$ X_0 $$ باشد، آن‌گاه خروجی $$ y(t) $$ را به دست آورید.

حل اول

توجه کنید که ورودی سیستم، تابع پله واحد نیست، بلکه دارای دامنه $$ X_0 $$ است. بنابراین تمام خروجی سیستم نیز باید دارای مقیاس $$ X_0 $$ باشد. معادله دیفرانسیل توصیف کننده سیستم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ b dot{y} + ky = -b dot{x} (t) $$

بنابراین تابع انتقال را با اعمال تبدیل لاپلاس به طرفین معادله محاسبه می‌کنیم و سپس نسبت $$ frac{ Y(S) } { X(S) } $$ را به دست می‌آوریم:

$$ frac{ Y(S) } { X(S) } = H(S) = – frac {S} {S + frac {k} {b}} $$

برای به دست آوردن پاسخ پله واحد، تابع انتقال را در تابع پله با دامنه $$ X_0 $$ یعنی $$ frac {X_0} {S} $$ ضرب می‌کنیم. سپس معادله را با جست و جو در جدول تبدیل لاپلاس و محاسبه لاپلاس معکوس به دست می‌آوریم:

$$ frac{ Y(S) } { X(S) } = H(S) = – frac {X_0} {S} frac {S} {S + frac {k} {b}} $$

$$ = – frac { X_0 } {S + frac {k} {b}} $$

$$ = y(t) = – X_0 e^ {- frac {k} {b} t} $$

به ازای مقادیر $$ k = b = 1 $$ و $$ X_0 = 2 $$، جواب زیر برای این سیستم به دست می‌آید.

حل دوم (بدون نیاز به تبدیل لاپلاس معکوس)

با استفاده از تابع انتقال، می‌توان ویژگی‌های زیر را به دست آورد:

$$ y (0^ +) = X_0 H(infty ) = – X_0 $$

$$ y ( infty ) = X_0 H( 0 ) = 0 $$

$$ tau = frac{b} { k} $$

با استفاده از فرم عمومی پاسخ پله واحد در یک سیستم مرتبه اول، داریم:

$$ y (t) = y (infty) + (y (0 ^ +) – y (infty)) e^ {- frac {t} {tau}} $$

$$ = 0 + (- X_0 – 0) e ^ {-(frac {k} {b} )t} $$

$$ = – X_0 e ^ {-(frac {k} {b} )t} $$

همچنین می‌توان از روش زیر استفاده کرد و به پاسخ مشابهی دست یافت.

طول دمپر با اعمال نیروی محدود به صورت آنی تغییر نمی‌کند، بنابراین $$ X(0^ + ) = – X_0 $$ است. موقعیت نهایی مستقل از دمپر است؛ زیرا در سرعت صفر، هیچ نیروی اصطکاکی وجود ندارد و $$ X(infty ) = 0 $$ است. ثابت زمانی در سیستم دمپر و فنر برابر با $$ frac {b} {k} $$ است. بنابراین:

$$ y(t) = – X_0 e ^ {-(frac {k} {b} )t} $$

در مدار زیر، اگر ولتاژ ورودی $$ e_{in} (t) $$ برابر با پله واحد باشد، آن‌گاه مقدار $$  e_{out} (t)$$ را بیابید.

حل اول

ابتدا باید تابع انتقال مدار را به دست آوریم. می‌دانیم که مدار مربوط به یک مقسم ولتاژ با دو مقاومت است. بنابراین می‌توان شماتیک مدار را به صورت زیر رسم کرد.

تابع انتقال برابر است با:

$$ frac {E_{out} (S)} { E_{in} (S)} = H(S) = frac {Z_2} {Z_2 + Z_1} $$

در این تابع انتقال، $$ Z_1 $$ برابر با $$ R_1 $$ و $$ Z_2 $$ برابر با ترکیب سری  $$ R_2 $$ و خازن $$ C $$ است. بنابراین داریم:

$$ Z_{1} =R_{1} $$

$$ Z_{2} =Z_{R 2}+Z_{C}=R_{2}+frac{1}{S C} $$

$$ H(S) =frac{E_{o u t}(S)}{E_{i n}(S)}=frac{Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}=frac{R_{2}+frac{1}{S C}}{R_{1}+R_{2}+frac{1}{S C}} $$

$$ =frac{C R_{2}}{Cleft(R_{1}+R_{2}right)} frac{S+frac{1}{Cleft(R_{1}+R_{2}right)}}{Cleft(R_{1}+R_{2}right)} $$

$$ =frac{R_{2}}{left(R_{1}+R_{2}right)} frac{1}{S+frac{1}{Cleft(R_{1}+R_{2}right)}} $$

برای به دست آوردن پاسخ پله واحد سیستم، تابع انتقال سیستم را در تبدیل لاپلاس تابع پله واحد $$ frac {1} {S} $$ ضرب می‌کنیم و سپس با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس، پاسخ را به دست می‌آوریم:

$$ mathrm{E}_{mathrm{ous}}(mathrm{s}) =frac{1}{mathrm{s}} mathrm{H}(mathrm{s})=frac{1}{mathrm{s}} frac{mathrm{R}_{2}}{left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)} frac{mathrm{s}+frac{1}{mathrm{CR}_{2}}}{mathrm{s}+frac{1}{mathrm{C}left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)}} $$

$$ =frac{mathrm{A}}{mathrm{s}}+frac{mathrm{B}}{mathrm{s}+frac{1}{mathrm{C}left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)}} $$

$$ =frac{1}{mathrm{s}}-frac{mathrm{R}_{1}}{left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)} frac{1}{mathrm{s}+frac{1}{mathrm{C}left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)}} $$

$$ mathrm{e}_{mathrm{out}}(mathrm{t}) =1-frac{mathrm{R}_{1}}{left(mathrm{R}_{1}+mathrm{R}_{2}right)} mathrm{e}^{-t /left(mathrm{Q}_{1}+mathrm{r}_{2}right)} $$

با در نظر گرفتن مقادیر $$ R_1 = R_2 = 1 K Omega $$ و $$ C = 1 mu F $$ نتیجه زیر برای سیستم به دست می‌آید.

حل دوم (بدون تبدیل لاپلاس معکوس)

با استفاده از تابع انتقال می‌توان به اطلاعات زیر دست یافت:

$$ e_{out } (0^ + ) = H (infty) = frac {R_2 } {(R_2 + R_1)} $$

$$ e_{out } ( infty ) = H (0) = 1 $$

$$ tau = C (R_2 + R_1) $$

با استفاده از فرم عمومی پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول می‌توان نوشت:

$$ e_{out } (t) = e_{out } ( infty ) + ( e_{out } (0^+ – e_{out } ( infty ) ) e^ {- frac {t} {tau}} $$

$$ = 1 + ( frac {R_2 } {(R_2 + R_1)} – 1) e^ {- frac {t} {C (R_2 + R_1)}} $$

$$ = 1 – frac {R_1 } {(R_2 + R_1)} e^ {- frac {t} {C (R_2 + R_1)}} $$

همان طور که دیدیم این راه حل بسیار ساده‌تر است. همچنین، با استفاده از روش زیر به پاسخ مشابهی خواهیم رسید.

در $$ t = 0^+ $$، هیچ ولتاژی در دو سر خازن وجود ندارد. بنابراین مدار یک مقسم ولتاژ ساده است که در آن $$ C . R_{eq} (infty) = C (R_1 + R_2 ) $$ است. بنابراین نتیجه‌ای که در این حالت به دست می‌آوریم نیز مانند حالت قبل است:

$$ e_{out } (t) = e_{out } ( infty ) + ( e_{out } (0^+) – e_{out } ( infty ) ) e^ {- frac {t} {tau}} $$

$$ = 1 + ( frac {R_2 } {(R_2 + R_1)} – 1) e^ {- frac {t} {C (R_2 + R_1)}} $$

$$ = 1 – frac {R_1 } {(R_2 + R_1)} e^ {- frac {t} {C (R_2 + R_1)}} $$

همان طور که انتظار می‌رود، پاسخ پله یک سیستم مرتبه دو، پیچیده‌تر از پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول است. در حالی که پاسخ پله یک سیستم مرتبه اول را می‌توان با استفاده از ثابت زمانی (تعیین از روی قطب‌های سیستم)، مقدار اولیه و مقدار نهایی سیستم به صورت کامل تعریف کرد، پاسخ پله یک سیستم مرتبه دو در حالت کلی با روش‌های پیچیده‌تری محاسبه می‌شود. در ابتدا باید توجه کنید که فرم تابع تبدیل یک سیستم مرتبه دو را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ frac{{Y(s)}}{{X(s)}} = H(s) = frac{{a{s^2} + bs + c}}{{{s^2} + ds + e}} $$

 در رابطه فوق، $$ a $$ و $$ b $$ و $$ c $$ و $$ d $$ و $$ e $$ همگی اعداد حقیقی هستند و حداقل یکی از اعداد در صورت کسر باید غیر صفر باشد.

در واقع امکان پذیر نیست که تاثیر هر کدام از این 5 عدد را در تابع انتقال عمومی تفکیک کرد. بنابراین برای سادگی، در این مرحله فرض می‌کنیم $$ a = b = 0 $$ باشند. پس تابع انتقال سیستم را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$ H(s) = frac{c}{{{s^2} + ds + e}} = Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} $$

سه مقدار در رابطه بالا وجود دارند که عبارتند از:

انتخاب این ثابت‌ها ممکن است به صورت تصادفی به نظر برسد، اما در ادامه نشان خواهیم داد که با انتخاب مناسب این ثابت‌ها می‌توان محاسبات ریاضی را برای سیستم مرتبه دوم ساده‌تر کرد. هر سه ثابت ذکر شده در بالا دارای تعبیر فیزیکی هستند که منجر به داشتن دید صحیح به سیستم می‌شوند. این سیستم را سیستم مرتبه دوم پایین گذر می‌گویند؛ زیرا پاسخ فرکانسی یک سیستم پایین گذر است.

برای یافتن پاسخ پله واحد سیستم، ابتدا تابع انتقال را در تبدیل لاپلاس تابع پله واحد، یعنی $$ frac{1}{s} $$ ضرب می‌کنیم. بنابراین داریم:

$$ {Y_gamma }(s) = frac{1}{s}H(s) = frac{1}{s}Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} $$

قبل از این‌که $$ y_gamma (t) $$ را به دست آوریم، ابتدا باید ریشه‌های عبارت موجود در مخرج کسر بالا را به دست آوریم:

$$ s = frac{{ – 2zeta {omega _0} pm sqrt {{{left( {2zeta {omega _0}} right)}^2} – 4omega _0^2} }}{2} = – zeta {omega _0} pm {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} $$

مقدار $$ zeta $$، منجر به ایجاد ۵ نوع مختلف از سیستم‌ها می‌شود که در جدول زیر آورده شده‌اند:

سه گروه اول از سیستم‌ها مهم‌تر هستند، اما دو گروه آخر هم تا حدی مورد بحث قرار خواهند گرفت.

در سیستم‌های تندمیرا، با مساوی صفر قرار دادن معادله مشخصه، تابع انتقال دارای دو قطب حقیقی خواهد بود که عبارتند از:

$$ s = – zeta {omega _0} pm {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} $$

برای راحتی به این قطب‌ها نام‌های $$ alpha _1 $$ و $$ alpha _2 $$ می‌دهیم:

$$ begin{gathered} {alpha _1} = zeta {omega _0} + {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} = {omega _0}left( { zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) \
{alpha _2} = zeta {omega _0} – {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} = {omega _0}left( { zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) \ end{gathered} $$

قطب‌ها را مانند تصویر زیر، در دیاگرام صفر و قطب رسم می‌کنیم.

همچنین باید توجه کنیم که:

$$ {alpha _1} cdot {alpha _2} = {omega _0}left( { zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) cdot {omega _0}left( { zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) \
= omega _0^2left( {{zeta ^2} + – left( {{zeta ^2} – 1} right) + zeta sqrt {{zeta ^2} – 1} – zeta sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) = omega _0^2 $$

تابع انتقال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ H(s) = Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} = Kfrac{{{alpha _1} cdot {alpha _2}}}{{left( {s + {alpha _1}} right)left( {s + {alpha _2}} right)}} $$

پاسخ پله واحد در حوزه فرکانس برابر است با:

$$ {Y_gamma }(s) = frac{1}{s}H(s) = frac{1}{s}Kfrac{{{alpha _1} cdot {alpha _2}}}{{left( {s + {alpha _1}} right)left( {s + {alpha _2}} right)}} $$

حال با اعمال معکوس تبدیل لاپلاس روی معادله بالا، می‌توان به پاسخ پله واحد در حوزه زمان رسید:

$$ {y_gamma }(t) = Kleft( {1 – frac{{{alpha _2}{e^{ – alpha_1 t}} – {alpha _1}{e^{ – alpha_2 t}}}}{{{alpha _2} – {alpha _1}}}} right) $$

اگر معادله بالا را بر حسب ضریب میرایی و فرکانس طبیعی بازنویسی کنیم، به فرم زیر تبدیل خواهد شد:

$$ begin{gathered}
{y_gamma }(t) = Kleft( {1 – frac{{{omega _0}left( {zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right){e^{ – {omega _0}left( {zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right)t}} – {omega _0}left( {zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right){e^{ – {omega _0}left( {zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right)t}}}}{{{omega _0}left( {zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) – {omega _0}left( {zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right)}}} right) \
= Kleft( {1 + frac{{left( {zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right){e^{ – {omega _0}left( {zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right)t}} – left( {zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right){e^{ – {omega _0}left( {zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right)t}}}}{{2sqrt {{zeta ^2} – 1} }}} right) \
end{gathered} $$

این معادله نسبتا پیچیده است، اما چند نکته زیر در مورد آن اهمیت زیادی دارند:

تاثیر $$ zeta $$ و $$ omega _0 $$ روی شکل پاسخ بعدا مورد بحث قرار می‌گیرند.

برای به دست آوردن پاسخ پله واحد یک سیستم میرای بحرانی، روندی همانند سیستم تندمیرا را طی می‌کنیم. برای $$ zeta = 1 $$، ریشه‌های مخرج کسر تابع انتقال سیستم، هر دو در $$ S = – omega _0 $$ قرار دارند. همچنین محل ریشه‌ها را با $$ S = – alpha $$ نیز نمایش می‌دهند. بنابراین می‌توان تابع انتقال سیستم را به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ H(s) = Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2{omega _0}s + omega _0^2}} = Kfrac{{omega _0^2}}{{{{left( {s + {omega _0}} right)}^2}}} = Kfrac{{{alpha ^2}}}{{{{left( {s + alpha } right)}^2}}} $$

این سیستم دارای قطب‌های تکراری در $$ S = – omega _0 $$ است که در تصویر زیر نشان داده شده است.

پاسخ پله واحد این سیستم را در حوزه فرکانس می‌توان مانند فرمول زیر محاسبه کرد:

$$ {Y_gamma }(s) = frac{1}{s}H(s) = frac{1}{s}Kfrac{{omega _0^2}}{{{{left( {s + {omega _0}} right)}^2}}} = frac{1}{s}Kfrac{{{alpha ^2}}}{{{{left( {s + alpha } right)}^2}}} $$

حال با استفاده از معکوس تبدیل لاپلاس به معادله زیر برای پاسخ پله واحد در حوزه زمان دست می‌یابیم:

$$ eqalign{ {y_gamma }(t) &= Kleft( {1 – {e^{ – {omega _0}t}} – {omega _0}t{e^{ – {omega _0}t}}} right) \ &= Kleft( {1 – {e^{ – alpha t}} – {omega _0}t{e^{ – alpha t}}} right) } $$

در مورد این پاسخ نیز می‌توان چند مشخصه بسیار مهم را به خاطر سپرد:

برای سیستم‌های کندمیرا، از تابع انتقال استفاده می‌کنیم تا پاسخ پله را در حوزه فرکانس یا حوزه لاپلاس به دست آوریم. محل قطب‌ها را می‌توان یا بر حسب $$ omega _0 $$ و $$ zeta $$ و یا بر حسب مقادیر حقیقی و موهومی آن‌ها ($$ alpha $$ و $$ omega _d $$) نوشت.

$$ H(s) = K frac{{ omega _0^2}}{{{s^2} + 2{ omega _0} s + omega _0^2 }} = K frac {{{ alpha ^2} + omega _d^{^2}}}{{{{ left( {s + alpha } right)}^2} + omega _d^{^2 }}} $$

محل قطب‌ها در این سیستم را می‌توان در دیاگرام قطب زیر مشاهده کرد.

توجه کنید که $$ – alpha $$ برابر با قسمت حقیقی قطب و $$ pm j omega _d $$ برابر با قسمت موهومی قطب است. همچنین می‌توان گفت که $$ omega _0 $$ برابر با فاصله قطب از مبدا است و زاویه بین محور افقی و قطب را می‌توان از روی $$ zeta $$ و با استفاده از فرمول $$ theta = cos ^ {-1} (zeta) $$ به دست آورد. می‌توان این چهار مولفه را به صورت زیر به یکدیگر ربط داد:

$$ { omega _d} = { omega _0} sqrt {1  –  {zeta ^2}} \ $$

$$ alpha = zeta omega _0 $$

در این حالت پاسخ پله سیستم برابر است با:

$$ {Y_gamma }(s) = frac {1} {s} H ( s ) = frac {1} {s} K frac {{omega  _0 ^ 2}}{{{s ^ 2} + 2{ omega _0}s + omega _0^2}}  \
= frac {1} {s} K frac {{{alpha ^2} + omega _d^{^2}}}{{{{left( {s + alpha } right)}^2} + omega _d^{^2}}} $$

حال با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس، می‌توانیم به رابطه پاسخ پله در حوزه زمان دست یابیم:

$$ {y_gamma }(t) = Kleft( {1 – frac{1}{{sqrt {1 – {zeta ^2}} }}{e^{ – zeta {omega _0}t}}sin left( {{omega _0} {sqrt {1 – {zeta ^2}} } t + theta} right)} right) $$

$$ = K left( {1 – frac{sqrt{{{alpha ^2} + omega _d^2}}}{{{omega _d}}}{e ^{ – alpha t}} sin left( {{omega _d}t + theta} right)} right) $$

$$ theta = operatorname{acos} left( zeta right) = operatorname{atan} left( {frac{{{omega _d}}}{alpha }} right) $$

در تصویر زیر نمایی از پاسخ یک سیستم کندمیرا نشان داده شده است.

فرمول‌های بالا اطلاعات بسیار مهمی را در خود دارند. برخی از مهم‌ترین این اطلاعات عبارتند از:

بحث راجع به تاثیر $$ zeta $$ و $$ omega _0 $$ روی شکل پاسخ پله نیز بسیار مهم است که بعدا مورد بررسی قرار می‌گیرد.

زمانی که ضریب میرایی برابر با صفر باشد، اصطلاحا سیستم را نامیرا می‌گویند. ریشه‌های مخرج تابع انتقال برابر با $$ S = pm J omega $$ هستند، بنابراین تابع انتقال در حوزه لاپلاس برابر است با:

$$ H(s) = Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + omega _0^2}} = Kfrac{{omega _0^2}}{{left( {s + j{omega _0}} right)left( {s – j{omega _0}} right)}} $$

بر اساس تابع فوق و تبدیل لاپلاس معکوس، پاسخ پله در حوزه زمان به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ {y_gamma }(t) = Kleft( {1 – sin left( {{omega _0}t + pi } right)} right) = Kleft( {1 – cos left( {{omega _0}t} right)} right) $$

همان طور که از نام این سیستم مشخص است، سیستم نامیرا هیچ میرایی یا نوسانی ندارد. در تصویر زیر نمایی از دیاگرام قطب‌های سیستم نامیرا نشان داده شده است.

اگر حالتی را در نظر بگیریم که $$ zeta < 0 $$ باشد، می‌توانیم تابع انتقال را بر حسب دو ریشه مخرج کسر آن بنویسیم:

$$ H(s) = Kfrac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} = Kfrac{{{alpha _1} cdot {alpha _2}}}{{left( {s + {alpha _1}} right)left( {s + {alpha _2}} right)}} $$

$$ {alpha _1} = – zeta {omega _0} + {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} = {omega _0}left( { – zeta + sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) $$

$$ {alpha _2} = – zeta {omega _0} – {omega _0}sqrt {{zeta ^2} – 1} = {omega _0}left( { – zeta – sqrt {{zeta ^2} – 1} } right) $$

می‌توانیم پاسخ پله واحد را با ضرب کردن تابع انتقال $$ H(s) $$ در تبدیل لاپلاس پله واحد ($$ frac {1} {S} $$) به دست آورد. فعلا فرض می‌کنیم که $$ alpha _1 $$ و $$ alpha _2 $$ با هم برابر نباشند:

$$ {Y_gamma }(s) = frac{1}{s}H(s) = frac{1}{s}Kfrac{{{alpha _1} cdot {alpha _2}}}{{left( {s + {alpha _1}} right)left( {s + {alpha _2}} right)}} $$

$$ = frac{{{A_1}}}{s} + frac{{{A_2}}}{{s + {alpha _1}}} + frac{{{A_3}}}{{s + {alpha _2}}} $$

$$ {y_gamma }(t) = {A_1} + {A_2}{e^{ – {alpha _1}t}} + {A_3}{e^{ – {alpha _2}t}} $$

توجه کنید که مقادیر $$ A_1 $$ و $$ A_2 $$ و $$ A_3 $$ را در عبارات بالا محاسبه نکرده‌ایم، اما تعیین مقادیر دقیق آن‌ها در مقدار عبارت اهمیت زیادی ندارد؛ زیرا سیستم به صورت نمایی رشد می‌کند. چون قسمت حقیقی $$ alpha _1 $$ و $$ alpha _2 $$ اعداد منفی هستند، عبارت بالا با گذر زمان به صورت نمایی افزایش می‌یابد. همچنین به دلیل اینکه $$ alpha _1 $$ و $$ alpha _2 $$ اعداد مختلط هستند، عبارت بالا با گذر زمان نوسانی می‌شود. این رفتار در سیستم‌ها معمولا نادر است، اما در تئوری کنترل (Control Theory) چنین سیستم‌هایی از اهمیت بالایی برخوردار هستند. در تصویر زیر نمایی از دیاگرام قطب‌های یک سیستم ناپایدار یا رشد نمایی نشان داده شده است.

تابع انتقال سیستم پایین گذر درجه دوم را می‌توان توسط عبارت زیر نمایش داد:

$$ {H_{LP}}left( s right) = {H_{0,LP}}frac{{omega _0^2}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} $$

دیاگرام قطب‌های سیستم درجه دو پایین گذر در شکل زیر مشاهده می‌شود.

نمودار شکل زیر، تاثیر $$ zeta $$ را روی پاسخ پله واحد یک سیستم درجه دو با مقادیر مثبت $$ zeta $$ و $$ H_{0,LP}=1 $$ نمایش می‌دهد. برای $$ zeta > 1 $$، سیستم تندمیرا خواهد شد و نوسان نمی‌کند. همچنین سیستم به ازای $$ zeta = 1 $$ نیز نوسان نخواهد کرد. اما به ازای $$ zeta < 1 $$، سیستم کندمیرا شده و هر چه به $$ zeta rightarrow 0 $$ نزدیک‌تر شود، بیشتر و بیشتر نوسان می‌کند.

تصویر بالا تا زمانی که $$ zeta > 0 $$ باشد، درست است. درباره این نمودار توجه به چند نکته بسیار مهم است:

تصویر زیر تاثیر $$ omega _0 $$ را روی پاسخ پله واحد یک سیستم درجه دوم نشان می‌دهد.

همان طور که از روی تصویر مشخص است، شکل پاسخ سیستم با تغییر $$ omega _0 $$ ثابت باقی می‌ماند. اما سرعت سیستم تغییر می‌کند. البته به این نکته باید توجه کنید که دامنه پیک‌های اول، دوم، سوم و … با یکدیگر برابر و از $$ omega _0 $$ مستقل است و تنها با زمان تغییر می‌کند. هنگامی که $$ omega _0 $$ افزایش می‌یابد، سرعت سیستم نیز افزایش می‌یابد. اگر $$ omega _0 $$ دو برابر شود، سرعت سیستم نیز دو برابر می‌شود. اما باید به این نکته هم اشاره کرد که $$ omega _0 $$ باعث ایجاد تغییر در شکل پاسخ نمی‌شود. زیرا $$ omega _0 $$ و $$ t $$ همیشه با یکدیگر و به صورت جفت $$ omega _0 . t $$ ظاهر می‌شوند. بنابراین افزایش $$ omega _0 $$ باعث افزایش حاصل ضرب $$ omega _0 . t $$ در هر لحظه از زمان نیز می‌شود.

تصویر زیر نیز نشان دهنده تاثیر $$ zeta $$ روی پاسخ پله واحد سیستم درجه دوم به ازای مقادیر مثبت و منفی $$ zeta $$ است.

برای مقادیر مثبت $$ zeta $$، پاسخ با زمان کاهش می‌یابد. به ازای $$ zeta = 0 $$ سیستم هیچ میرایی نخواهد داشت و اصطلاحا سیستم نامیرا است. به ازای مقادیر منفی $$ zeta $$ پاسخ با گذر زمان رشد خواهد کرد. در عمل ما زیاد با این سیستم‌ها برخورد نخواهیم کرد. اما در برخی موقعیت‌های خاص، این اتفاق برای سیستم رخ می‌دهد که به انرژی سیستم همواره افزوده می‌شود. توجه کنید که مقدار نهایی سیستم زمانی که $$ zeta leq 0 $$ باشد، تعریف نمی‌شود.

سیستم مرتبه دو بالا گذر با معادله زیر توصیف می‌شود:

$$ {H_{HP}}left( s right) = {H_{0,HP}}frac{{{s^2}}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} $$

این سیستم دارای بسیاری از مشخصه‌های مشابه با سیستم مرتبه دوم پایین گذر است، اما تفاوت‌هایی نیز دارد. در تصویر زیر محل قطب‌ها در یک سیستم مرتبه دوم بالا گذر نشان داده شده است.

در تصویر زیر نیز پاسخ پله یک سیستم مرتبه دوم بالا گذر نشان داده شده است.

شباهت‌های سیستم‌های مرتبه دوم بالا گذر و پایین گذر عبارتند از:

اما این دو سیستم با یکدیگر در موارد زیر متفاوت هستند:

سیستم مرتبه دوم میان گذر نیز دارای بسیار مشخصه‌های مشابه با سیستم مرتبه دو پایین گذر و بالا گذر است. البته تفاوت‌هایی نیز با این  دو سیستم دارد. این سیستم را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

$$ {H_{BP}}left( s right) = {H_{0,BP}}frac{{2zeta {omega _0}s}}{{{s^2} + 2zeta {omega _0}s + omega _0^2}} $$

محل قطب‌ها در یک سیستم مرتبه دو میا‌ن گذر در تصویر زیر نشان داده شده است.

شباهت‌های این سیستم با دو سیستم مرتبه دو بالا گذر و پایین گذر عبارت است از:

اما سیستم مرتبه دو میان گذر با دو سیستم بالا گذر و پایین گذر در موارد زیر تفاوت دارد:

در برنامه متلب زیر، تاثیر ضریب میرایی روی پاسخ پله یک سیستم مرتبه دوم نشان داده شده است.


تصویر زیر درخروجی این برنامه ترسیم می‌شود.

در برنامه متلب زیر نیز تاثیر فرکانس پاسخ نامیرا روی پاسخ پله سیستم مرتبه دوم را بررسی می‌کنیم.

خروجی این برنامه در تصویر زیر نشان داده شده است.

در برنامه متلب زیر نیز تاثیر ثابت زمانی روی پاسخ پله سیستم مرتبه دو را بررسی می‌کنیم.


خروجی این قطعه کد مطابق با تصویر زیر است.

در برنامه زیر تاثیر افزودن یک قطب در پاسخ پله سیستم مرتبه دو در متلب نشان داده شده است.


خروجی این برنامه مطابق با تصویر زیر است.

تاثیر افزودن صفر اضافه روی پاسخ پله سیستم مرتبه دوم در کد متلب زیر نشان داده شده است.

تاثیر افزودن صفر اضافه روی پاسخ پله سیستم مرتبه دوم

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مرضیه آقایی (+)

«مرضیه آقایی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه کنترل پیش‌بین موتورهای الکتریکی بوده و در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۱۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۳۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۴۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

© فرادرس ۱۳۸۹-۱۳۹۷. تمامی حقوق محفوظ است.

در راستای استقبال دوستان از مباحث کنترل خطی به کمک نرم افزار MATLAB تصمیم گرفتیم آموزش دیگری در این راستا را در سایت قرار دهیم. در این آموزش نحوه ی یافتن پاسخ های زمانی به ورودی پله، ضربه و هر ورودی دلخواه دیگری به کمک نرم افزار متلب آموزش داده خواد شد. برای مشاهده ی آموزش به ادامه مطلب مراجعه نمایید.

 

در صورت داشتن هرگونه سوال، لطف کنید سوالاتتون رو در قسمت نظرات مطرح کنید. و در صورت داشتن پروژه در خصوص نرم افزار MATLAB و مهندسی مکانیک ، کنترل، محاسبات عددی، SIMULINK، SimMechanics میتوانید از طریق ایمیل و تلفن در قسمت تماس با ما، ارتباط برقرارکنید.

در راستای استقبال دوستان از مباحث کنترل خطی به کمک نرم افزار MATLAB تصمیم گرفتیم آموزش دیگری در این راستا را در سایت قرار دهیم. در این آموزش نحوه ی یافتن پاسخ های زمانی به ورودی پله، ضربه و هر ورودی دلخواه دیگری به کمک نرم افزار متلب آموزش داده خواد شد.

دستور پاسخ پله در متلب

در ابتدا دستورات در شکل زیر نشان داده شده است و پس از آن قسمت به قسمت آن توضیح داده شده است.

 

در ابتدا با دستورات زیر فضای کاری، و متغیرهای و پلات هایی که در حال نمایش هستند بسته خواهند شد.

%% Automatic Control Training
% by Mohsen Rezaie
% May-26-2014
% Site: www.mechanicsoft.ir & matlabsoft.blogsky.com
clear                    %Clear Workspace variable
clc                      %Clear Command Windows
close all                %Close all Current Figure

پس از آن نوبت به تعریف تابع دلخواهی است جزئیات مربوط به نحوه ی تعریف تابع تبدیل را می توانید در درس اول مشاهده نمایید. که بدین صورت است که صورت و مخرج تابع تبدیل به صورت جداگانه در دو بردار ذخیره می شوند و سپس با دستور tf تابع تبدیل آنها نوشته می شود.

%% Time response
num=[1,2];               %Numerator of Transfer Function
den=[1 1 3];             %Denominator of Transfer Function
t=0:.05:14;               %Time
sys=tf(num,den);         %Making Transfer Function[y,t]=step(sys);

 بدست آوردن پاسخ زمانی به ورودی پله

برای بدست آوردن پاسخ زمانی به ورودی پله از دستور step به صورت زیر استفاده می شود.( در مورد دستور plot و آموزش رسم انواع نمودارها به درسی که در پست۴۵   نوشته شده است مراجعه نمایید.)

 %% Step Response
y1=step(sys,t);          %Making Step Response
plot(t,y1,’-r’);hold on;%Plot Step Response
text(2.5,.8,’Step Response’,’color’,’r’)

 بدست آوردن پاسخ زمانی به ورودی ضربه

برای بدست آوردن پاسخ زمانی به ورودی ضربه از دستور impulse به صورت زیر استفاده می شود.

%% Step Response
y2=impulse(sys,t);       %Making Impulse Response
plot(t,y2,’-b’)         %Plot Impulse Response
text(2,.25,’Impulse Response’,’color’,’b’)

 

بدست آوردن پاسخ زمانی به هر ورودی دلخواه

برای بدست آوردن پاسخ زمانی به هر ورودی دلخواه باید ابتدا ورودی دلخواه تعریف شود که بدین منظور یک ورودی دلخواه به صورت تابعی از زمان به صورت زیر تعریف شده است. شما میتوانید به جای این ورودی هر ورودی دلخواه دیگری قرار دهید.پس از آن با دستور lsim و همانگونه که در زیر نشان داده شده است .پاسخ به ورودی دلخواه بدست آمده است.

%% Arbitrary Input Response
u=sin(10*t)-.005*t;           %Arbitrary Input
y3=lsim(sys,u,t);
plot(t,y3,’-m’)
text(5,-.2,’Arbitrary Input Response’,’color’,’m’)

 

 

 

در صورت داشتن هرگونه سوال، لطف کنید سوالاتتون رو در قسمت نظرات مطرح کنید. و در صورت داشتن پروژه در خصوص نرم افزار MATLAB و مهندسی مکانیک ، کنترل، محاسبات عددی، SIMULINK، SimMechanics میتوانید از طریق ایمیل و تلفن در قسمت تماس با ما، ارتباط برقرارکنید.

کارشناسی : مهندسی مکانیک جامدات، کارشناسی ارشد: مهندسی مکانیک طراحی کاربردی، دکتری: دانشجوی دکتری مکانیک گرایش دینامیک کنترل و ارتعاشات دانشگاه شیراز

زمینه های تحقیقاتی: دینامیک، کنترل، ارتعاشات، دینامیک پرواز، دینامیک خودرو، آیروالاستیسته، بهینه سازی

زمینه های کاری صنعتی: طراحی مکانیزم های خطوط تولید،طراحی جرثقیل ها،طراحی ماشین الات صنعتی،بررسی عیوب و بهینه سازی ماشین الات صنعتی

نرم افزارهای مسلط: متلب-سیمولینک- سیم مکانیک-انسیس – انسیس ورکبنچ-آدامز-سالیدورکس-آباکوس

سوابق کاری:استاد سابق دانشگاه ازاد اسلامی، دانشگاه علمی کاربردی،مدرس نرم افزارهای مکانیک مجتمع فنی تهران (شعبه ی شیراز) و آموزشگاه فواد، مشاور مهندسی و طراح در یک شرکت معتبر

تلفن تماس: 09369074440

ایمیل :

mechanic.soft[at]yahoo.com , info[at]mechanicsoft.ir

نوشته‌های تازه

سلام ممنون از توضیحات خوبتون
اگر امکان داره نحوه گرفتن رگرسیون غیر خطی با استفاده از نرم افزار MATLAB رو توضیح بدید؟؟؟

بله، لطف کنید سوالاتتون رو با عضویت در سایت در انجمن مربوطه مطرح بفرمایید.

ممنون از پست های مفید و خوبتون

مرسی. ایشالا که مورد قبولتون واقع شده باشه.

میشه لطفا کد متلب مقادیر زمان صعود، زمان اوج و ماکزیمم فراجهش رو در پاسخ پله سیستم رو هم بذارید؟

سلام ممنون برای مطالب فوق العاده تون من واقعا کلی براتون دعا کردم

سلام میشه لطفا آموزش و کد متلب این موارد رو هم بزارید نمودار بد تابع تبدیل، زوج قطب به ازای ضریب میرایی های مختلف، مکان هندسی ریشه ها ، صفرها و قطبهای تابع G
خیلییییییییییی ممممنون و خیللللللللیییییییی دعاتون میکنم

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

دیدگاه

نام *

ایمیل *

وب‌ سایت

دستور پاسخ پله در متلب

ذخیره نام، ایمیل و وبسایت من در مرورگر برای زمانی که دوباره دیدگاهی می‌نویسم.

محسن رضایی

کارشناسی مهندسی مکانیک جامدات
کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک طراحی کاربردی
دکتری مکانیک گرایش دینامیک کنترل و ارتعاشات دانشگاه شیراز

زمینه های تحقیقاتی: دینامیک، کنترل، ارتعاشات، دینامیک پرواز، دینامیک خودرو، بهینه سازی، آیروالاستیسیته، سیستم های مکانیکی نامعین

زمینه های کاری صنعتی: طراحی مکانیزم های خطوط تولید،طراحی جرثقیل ها،طراحی ماشین الات صنعتی،بررسی عیوب و بهینه سازی ماشین الات صنعتی، طراحی بهینه ی سازه های مکانیکی صنعتی، طراحی سازه های پنل خورشیدی

نرم افزارهای مسلطSOLIDWORKS-CATIA-AutoCAD
ANSYS – WORKBENCH-ABAQUS-SAP
CarSim-ADAMS-SimMechanic
MATLAB-SIMULINK-MAPLE

سوابق کاری

مدیر عامل شرکت مهندسی ایده های نو ایرانیان مانا 1397 تا کنون

مشاور  و طراح ماشین آلات و سازهای صنعتی شرکت تامین انرژی برق ایرانیان تابان 1396
مشاور، طراح مکانیزم و ماشین آلات  شرکت هورخش دیاکو پارس 1396-1395
مشاور، طراح مکانیزم و سازنده ماشین آلات شرکت صنایع لاستیک سازی دنا 1395-1394
طراح مکانیزم  دفتر طراحی بال پارک علم و فن آوری 1394-1393
مدرس نرم افزارهای مهندسی مکانیک موسسه ی ماد 1396
مدرس نرم افزارهای مهندسی مکانیک مرکز آموزشهای آزاد دانشگاه شیراز 1395
مدرس نرم افزارهای مهندسی مکانیک موسسه ی فواد 1394
مدرس نرم افزارهای مهندسی مکانیک مجتمع فنی تهران (شعبه شیراز) 1393
مدرس دروس مهندسی مکانیک دانشگاه جامع علمی کاربردی 1396-1391
مدرس دروس مهندسی مکانیک دانشگاه آزاد اسلامی 1393-1391

پست الکترونیکی

mechanic.soft[at]yahoo.com
info[at]mechnaicsoft.ir

تلفن

9369074440

تلگرام

9369074440

عضویت در کانال تلگرام

موسسه ی خیریه حمایت از کودکان مبتلا به سرطان

سایت تخصی نرم افزار فلوئنت

دایرکتوری وبلاگ های ایرانی

فارسی شده توسط همیار وردپرس

%PDF-1.5
%
1 0 obj
>>>>>>]/ON[ 2099 0 R ]/RBGroups[]>>/OCGs[ 2099 0 R ]>>/AcroForm>>>/Outlines 1352 0 R /ViewerPreferences>/Pages 1353 0 R /OpenAction>/PageMode/UseNone>>
endobj
2 0 obj
>
endobj
3 0 obj
>/ExtGState>/Font>>>/MediaBox[ 0 0 792 612]/Contents[ 8 0 R 672 0 R ]>>
endobj
4 0 obj
>>>/Filter/FlateDecode/BBox[ 0 0 8 8]/XStep 8/YStep 8/Length 51>>stream
x^3г4S03731RfF
E\
@!s=s

دستور پاسخ پله در متلب
دستور پاسخ پله در متلب
0

دیدگاهی بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *